A result on resolutions of Veronese embeddings

ABSTRACT This paper deals with syzygies of the ideals of the Veronese embeddings. By Green’s Theorem we know that O_P^n(d) satisfies Green-Lazarsfeld’s Property N_p ∀d≥p, ∀n. By Ottaviani-Paoletti’s theorem if n≥2, d≥3 and 3d−2≤p then O_P^n (d) does not satisfy Property N_p. The cases n≥3, d≥3, d<p<3d−2 are still open (except n=d=3). Here we deal with one of these cases, namely we prove that O_P^n (3) satisfies Property N_4 ∀n. Besides we prove that O_P^n (d) satisfies N_p ∀n≥p iff O_P^n(d) satisfies N_p. NOTA BENE Questo articolo fu sottomesso agli Annali di Matematica di Ferrara, per farlo pubblicare in fretta, in quanto nel frattempo era comparso su arXiv un articolo di Greg Smith e Hal Schenck che sembrava dimostrare di più; la loro dimostrazione poi risultò sbagliata.