Caractères de Chern, traces équivariantes et géométrie algébrique dérivée

L’objectif de ce travail est de donner un traitement détaillé de la construction du caractère de Chern pour certaines familles en catégories (esquissée dans l’article [47]). Pour cela nous introduisons, et étudions, la notion d’∞ ∞ -catégorie monoïdale symétrique rigide. Nous construisons un morphisme de trace dans ce cadre, qui est un morphisme de l’∞ ∞ -groupoïde des endomorphismes d’objets dans une telle ∞ ∞ -catégorie vers celui des endomorphismes de l’unité. En utilisant le travail récent de Lurie sur l’hypothèse du cobordisme (voir [25]) nous montrons de plus que ce morphisme de trace satisfait une propriété remarquable d’invariance cyclique. Nous utilisons l’existence de cette trace cyclique afin de construire un caractère de Chern, défini pour tout couple (T,) T A formé d’un ∞ ∞ -topos T T et d’un champ  A en ∞ ∞ -catégories monoïdales symétriques rigides. Nous présentons deux applications de notre construction générale, obtenues en spécifiant le couple (T,) T A . Nous montrons d’une part comment on peut retrouver le caractère de Chern des complexes parfaits à valeurs dans l’homologie cyclique et comment notre construction permet de l’étendre de façon pertinente au cas des complexes parfaits sur des champs algébriques d’Artin. Enfin, nous montrons comment notre caractère de Chern permet de construire des invariants de familles algébriques de dg-catégories. Une conséquence de l’existence de ces invariants est la construction d’une connexion de Gauss-Manin sur le complexe d’homologie cyclique d’une telle famille généralisant les constructions de [5, 12]. Nous montrons aussi comment on peut construire le faisceaux des caractères d’une représentation d’un groupe algébrique dans une dg-catégorie, qui est une catégorification de la fonction caractère d’une représentation linéaire ainsi qu’une extension au cas dg-catégorique de la construction de [11]. Pour finir, lorsque l’on dispose d’une famille de dg-catégories saturées nous construisons un caractère de Chern secondaire, dont l’existence était annoncée dans [47], et à valeurs dans une nouvelle théorie cohomologique que nous appelons l’homologie cyclique secondaire.