Funzioni BV in spazi metrici

Il mio lavoro di tesi si occupa delle funzioni a variazione limitata, brevemente BV, analizzando in principio il caso Euclideo per poi passare al caso più generale di funzioni BV in uno spazio metrico. Inizialmente vengono esaminate le due definizioni di funzioni BV su R: la definizione classica dovuta a Jordan nel 1881, e la definizione moderna basata sul concetto di derivata distribuzionale introdotto da Schwartz, e se ne prova l’effettiva equivalenza. Si dimostrano il classico teorema di derivazione di Lebesgue su [a;b], la bigezione tra le funzioni BV e le misure di Radon finite con segno, e un teorema di decomposizione (valido solo in una dimensione) per cui una funzione BV è somma di una funzione assolutamente continua, una funzione “salto” e una funzione “cantoriana”. Nel caso di funzioni con dominio un aperto di R^n, sulla base della definizione distribuzionale, dopo aver provato le principali proprietà della variazione totale, si prova che una funzione BV(\Omega) è limite in L^1(\Omega) di funzioni in W^{1,1}(\Omega)(caratterizzazione dovuta a De Giorgi); una volta provato che BV(\Omega) è uno spazio di Banach vengono introdotti due diversi tipi di convergenza: la convergenza forte e la convergenza debole*. Prima di dare la definizione di funzione BV in spazi metrici vengono presentati alcuni concetti base: viene introdotto il concetto di curva rettificabile a valori in uno spazio metrico e viene provata l’esistenza di geodetiche nel caso di uno spazio proprio. Si introducono le nozioni di misura doubling e di operatore massimale di Hardy-Littlewood, e viene dimostrato il teorema di Hardy-Littlewood che, nel caso 1< p <\infty, mostra che l’operatore massimale è limitato in L^p, mentre si ottiene una stima debole (1-1) nel caso p= 1. Si definisce il gradiente superiore debole e a questo scopo viene introdotta una misura esterna sull’insieme delle curve rettificabili. Introdotti poi gli spazi di Sobolev metrici secondo la definizione di Hajlasz e la disuguaglianza debole (1,p)-Poincaré, si mostra la loro equivalenza nel caso 1< p <\infty. Infine vengono definite le funzioni BV in uno spazio metrico: fissato (X,d,\mu) uno spazio metrico misurato, con \mu una misura doubling, per ogni u \in L^1_{loc}(X) si definisce la variazione totale di u, passando al rilassato. Dopo aver provato che tale variazione è la restrizione agli aperti di X, di una misura di Radon finita, si dimostra una recente caratterizzazione di tipo puntuale.