Variational and optimal transport problems in $L^\infty$

---------ENGLISH VERSION: In this thesis we investigate some properties of solutions of $L^\infty$-variational and transport problems. This manuscript is divided into two parts. The first part, made up of Chapter 2 and Chapter 3, deals with a supremal variational problem. Supremal variational problems appeared for the first time in the late 60s in some pioneering works of Aronsson. Due to the nature of the $L^\infty$-norm, the interesting minimizers are the so-called absolute minimizers (AM), which often happen to be solutions of an associated PDE and to have uniqueness and regularity properties. In Chapter 3 we investigate the problem associated to a quasiconvex continuous supremand $(x,p)\mapsto H(x,p)$. Notably, we show a new optimality property for $u\in$AM and prove a structure result for the set of points $x$ where $H(x,Du(x))=\max H(x,Du(x))$. In Chapter 3 we insert the supremal variational problem in the framework of problems with constraints on the gradient, proving $C^1$ regularity of the absolute minimizers on the above mentioned set. In the second part, which consists of Chapter 4 and Chapter 5, we are interested in the $L^\infty$-optimal transport problem ($L^\infty$-OT), studied for the first time by Champion, De Pascale, and Juutinen in 2007. An original contribution, presented in Chapter 4, is the proof that the restrictable (optimal) plans (the analogous of AM) are concentrated on a graph, if the cost function is strictly quasiconvex and satisfies a property similar to the classical the twist condition. Moreover, we prove uniqueness in the case of a discrete target measure. The $L^\infty$-OT is a non-convex problem, presumably more difficult than the classical OT. In order to have a better understanding, seeking for a generalization to this setting of the entropic approximation seems quite natural. With this intent, in Chapter 5, we provide a regularization which guarantees the $\Gamma$-convergence to the not regularized $L^\infty$-OT problem. Remarkably, we show that minimizers of the approximating functionals select restrictable optimal plans. Finally we prove some estimates on the speed of convergence and present some numerical illustrations performed with Sinkhorn's algorithm. -------ITALIAN VERSION: In questa tesi investighiamo alcune proprietà delle soluzioni dei problemi variazionali e di trasporto in $L^\infty$. Il manoscritto è diviso in due parti. La prima parte, composta dai Capitoli 2 e 3, tratta di un problema variazionale di tipo supremale. I problemi variazionali supremali sono apparsi per la prima volta nei tardi anni `60 in alcuni lavori pionieristici di Aronsson. Considerata la natura della norma $L^\infty$, i minimizzanti interessanti sono i cosiddetti minimizzanti assoluti(AM), che spesso risultano essere soluzioni di una PDE associata e hanno propretà di unicità e regolarità. Nel Capitolo 2, analizziamo il problema associato ad un funzionale $(x,p)\mapsto H(x,p)$ continuo e quasiconvesso. Nello specifico, mostriamo un'ulteriore proprietà di ottimalità per $u\in$AM e dimostriamo un risultato di struttura per l'insieme dei punti $x$ dove $H(x,Du(x))=\max_x H(x,Du(x))$. Nel Capitolo 3 inseriamo il problema variazionale nel contesto dei problemi con vincoli sul grandiente, provando la $C^1$ regolarità dei minimizzanti assoluti sull'insieme sopracitato. Nella seconda parte, costituita dal Capitolo 4 e dal Capitolo 5, ci interessiamo al problema di trasporto ottimo in $L^\infty$, studiato per la prima volta da Champion, De Pascale e Juutinen nel 2007 . Un contributo originale, presentato nel Capitolo 4, è la dimostrazione che i piani ottimali "restrictable" (l'analogo degli AM) sono concentrati in un grafico, se la funzione costo è strettamente quasiconvessa e soddisfa una proprietà simile alla condizione di twist classica. Inoltre, mostriamo l'unicità nel caso di una misura target discreta. Il problema OT in $L^\infty$ è non-convesso e presumibilmente più difficile di quello classico. Al fine di ottenere una migliore comprensione, sembra naturale cercare una generalizzazione a questo ambito delle tecniche dell'approssimazione entropica. A questo scopo, nel Capitolo 5, definiamo una regolarizzazione che garantisce la $\Gamma$-convergenza al problema OT in $L^\infty$ non regolarizzato. In particolare proviamo che i minimimi dei funzionali approssimanti selezionano piani "restrictable". Infine, forniamo alcune stime sulla velocità di convergenza e presentiamo alcuni esempi numerici realizzati con l'algoritmo di Sinkhor.