Planar maps, Tamari intervals and parking trees: a bijective journey.

As the title suggests, this thesis is an exploration of the bijective links between three families of combinatorial objects: planar maps, Tamari intervals and parking trees. Along the way, we will encounter many other kinds of combinatorial animals with exotic names, such as fighting fish, quadrant excursions, embedded mobiles, closed flows and blossoming trees... Planar maps have been well known to combinatorialists since they were introduced about sixty years ago. Their rich underlying combinatorial structure has contributed to the development of a strong bijective framework surrounding them. We can cite the examples of bijections with blossoming trees, which allow elegant proofs of beautiful formulas counting families of planar maps. More recently, the discovery of similar formulas for Tamari intervals has led to the exploration of the bijective connection with planar maps. In this manuscript, we revisit some of these bijections and create new ones, shedding new light by integrating numerous combinatorial families. At the crossroads of the correspondences developed in our work, we will encounter several models of parking trees. Not only do these trees appear naturally to encode families of planar maps and Tamari intervals, but they are also prototypes of objects governed by catalytic equations. In this sense, the general study of parking trees, initiated by Duchi and Schaeffer in 2023, and continued here, seems very promising for a further refined understanding of the bijective and enumerative schemes surrounding this manuscript. Come suggerisce il titolo, questa tesi è un'esplorazione dei legami biiettivi tra tre grandi famiglie di oggetti combinatori: carte planari, intervalli di Tamari e alberi di parking. Durante questo percorso, incontreremo anche altri tipi di animali combinatori dai nomi esotici, come i pesci combattenti, le escursioni nel quadrante, i mobiles, i flussi chiusi, gli alberi germoglianti e così via. Le carte planari sono ben note in combinatoria fin da quando sono state introdotte, circa sessant'anni fa. La loro forte struttura combinatoria ha contribuito allo sviluppo di un solido tessuto biiettivo intorno a loro. Possiamo citare l'esempio delle biiezioni con gli alberi germoglianti, che permettono di dimostrare in modo elegante le belle formule che contano famiglie di carte planari. Più recentemente, la scoperta di formule simili per gli intervalli di Tamari ha portato a esplorare i legami biiettivi con le mappe planari. In questo manoscritto, rivisitiamo alcune di queste biiezioni e ne creiamo di nuove, gettando nuova luce su questi oggetti grazie all'uso di numerose famiglie combinatorie. Nelle corrispondenze sviluppate all'interno del nostro lavoro, incontreremo diversi modelli di alberi di parking. Questi alberi non solo sembrano codificare naturalmente famiglie di carte planari e intervalli di Tamari, ma sono anche prototipi di oggetti governati da equazioni catalitiche. In questo senso, lo studio generale degli alberi di parking, iniziato da Duchi e Schaeffer nel 2023 e proseguito in questo lavoro, sembra molto promettente per un'ulteriore comprensione degli schemi biiettivi ed enumerativi che intervengono in questo manoscritto.