Le bisettrici curvilinee nei sistemi di coordinate circolari piane: teoria geometrica, rappresentazione tridimensionale e applicazione alla trilaterazione

La presente trattazione è dedicata alle bisettrici curvilinee, luoghi geometrici dei punti equidistanti da coppie di circonferenze. Partendo dai fasci di circonferenze, viene sviluppato un sistema di coordinate circolari piane nel quale la posizione di un punto è determinata dalle distanze da due circonferenze generatrici anziché da due centri fissi. Tale sistema, generato da coppie di fasci di circonferenze concentriche, opera secondo due modalità distinte: a passo costante assoluto o a passo costante proporzionale. I luoghi geometrici dei punti equidistanti dalle circonferenze generatrici descrivono specifiche curve bisettrici: l'iperbole e l'ellisse nella prima modalità, la circonferenza di Apollonio e l'ovale di Cartesio nella seconda modalità. La trattazione introduce inoltre una rappresentazione tridimensionale di tali curve, interpretandole come proiezioni di curve quartiche ottenute dall'intersezione di coppie di coni circolari retti, consentendo così di associare ad ogni punto bisettore una quota che ne esprime quantitativamente la qualità. Nella parte finale viene presentata un'applicazione pratica al problema della trilaterazione piana: data una terna di misurazioni di distanza da tre punti noti verso un punto incognito, la procedura geometrica sviluppata consente di determinarne la posizione ottimale individuando e valutando gli otto possibili punti di intersezione tripla tra le curve bisettrici, compensando eventuali imprecisioni nelle misurazioni originarie. Il metodo teorico sviluppato è accompagnato da un'implementazione algoritmica completa in ambiente AutoCAD mediante linguaggio AutoLISP, che traduce le operazioni geometriche descritte in procedura automatica: dalla costruzione dei coni generatori delle quartiche alla selezione della soluzione ottimale mediante criterio di quota minima. Il codice, organizzato in 68 funzioni classificate per ruolo algoritmico, dimostra la piena applicabilità computazionale del metodo e ne consente l'utilizzo operativo in contesti di rilevamento architettonico e topografico. ------------ This treatise is dedicated to curvilinear bisectors, the loci of points equidistant from pairs of circles. Starting from pencils of circles, a planar circular coordinate system is developed in which the position of a point is determined by the distances from two generating circles rather than from two fixed centers. This system, generated by pairs of concentric circle pencils, operates according to two distinct modes: constant absolute step or constant proportional step. The loci of points equidistant from the generating circles describe specific bisector curves: the hyperbola and the ellipse in the first mode, the Apollonian circle and the Cartesian oval in the second mode. The treatise also introduces a three-dimensional representation of these curves, interpreting them as projections of quartic curves obtained from the intersection of pairs of right circular cones, thus allowing each bisector point to be associated with an elevation that quantitatively expresses its quality. In the final part, a practical application to the problem of planar trilateration is presented: given a set of three distance measurements from three known points to an unknown point, the developed geometric procedure allows for the determination of its optimal position by identifying and evaluating the eight possible triple intersection points among the bisector curves, compensating for any inaccuracies in the original measurements. The developed theoretical method is accompanied by a complete algorithmic implementation in the AutoCAD environment using the AutoLISP language, which translates the described geometric operations into an automatic procedure: from the construction of the generating cones of the quartics to the selection of the optimal solution using a minimum elevation criterion. The code, organized into 68 functions classified by algorithmic role, demonstrates the full computational applicability of the method and enables its operational use in architectural and topographic surveying contexts.